Expresiones Algebraicas
- Lectura de Apoyo Didáctico de la Unidad Curricular Nr 1, preparada por el Vicerrectorado Académico de la UNEFA: Unidad 1: Expresiones Algebraicas.
1.1 Variables algebraicas. Conceptos.
1.2 Número de términos de una expresión.
1.3 Coeficiente numérico de un término.
Los distintos elementos del lenguaje
algebraico son explicados en el video empezando por
la propia definición de expresión algebraica, considerando la radicación
como una operación que puede estar en una expresión algebraica. Se
discute sobre el concepto de variables y constantes literales. Se
analizan expresiones de acuerdo al número de términos, se define el
coeficiente numérico de un término. Se explica el concepto de coeficiente
de un término con ejemplos. La definición estricta de monomio, binomio y
trinomio es establecida, ampliando la definición para términos
que contienen expresiones distintas a potencias. Se introduce
la definición de polinomio y la necesidad del concepto de multinomio
para referirse a expresiones con más de tres términos en que salvo el
coeficiente numérico se presentan términos con expresiones distintas a
potencias con enteros no negativos en la variable.
Se establece la definición de un polinomio,
mostrando ejemplos que son y otros que no son polinomios.
Otras definiciones como el grado del polinomio, el
coeficiente principal, el término independiente son tratadas en el
video. También la clasificación de los polinomios de acuerdo
al número de términos. Se revisan los conceptos de forma canónica y
forma completa de un polinomio. Se extiende el
diagrama de flechas para efectuar la multiplicación de polinomios.
Este diagrama se justifica aplicando consecutivamente la propiedad
distributiva. El diagrama indica que para obtener el producto
de polinomios se suman los productos de cada término
del primer factor con cada término del segundo factor. Se muestran
distintos diagramas correspondientes a diversas situaciones. Finalmente,
luego de multiplicar los polinomios, se procede a simplificar,
reduciendo los términos semejantes.
3. Operaciones:
Se explica qué son términos semejantes y cómo
se reducen. En el caso de polinomios en una sola variable son los términos con
la misma potencia en la variable, que tienen la misma parte literal. La reducción
de términos semejantes se fundamente en la propiedad distributiva. Se puede
proceder mentalmente: sumando los coeficientes y dejando la misma parte
literal. Se simplifica polinomios reduciendo términos semejantes. En el
video se justifica paso a paso la simplificación de polinomios. Luego, se dan
recomendaciones para hacerlo en una sola igualdad, identificando los términos
semejantes, de mayor a menor grado, y reduciéndolos.
Se explican los pasos para sumar y
restar polinomios usando el método horizontal. Luego, se procede con
mayor rapidez, eliminando paréntesis y reduciendo
términos semejantes. Se desarrollan ejemplos dando consejos
de trabajo.
3.3 Multiplicación de Polinomios.
Se justifica cómo efectuar la multiplicación
de monomios, usando las propiedades asociativa y conmutativa,
para reagrupar los factores, luego asociar los coeficientes y asociar
las potencias con la misma base. Como la multiplicación de monomios surge
con mucha frecuencia se procede de una manera
rápida, multiplicando los coeficientes, escribiendo cada variable a
la suma de los exponentes respectivos. Se desarrollan ejemplos con
coeficientes con fracciones, con radicales, producto de monomios en varias
variables.
Se justifica cómo multiplicar un
monomio por un polinomio, basado en la ley distributiva. Un primer ejemplo
es desarrollado paso por paso, luego se busca resolver
la multiplicación en una sola línea, se resuelven otras
dos multiplicaciones en una sola línea.
Se extiende el diagrama de flechas para
efectuar la multiplicación de polinomios. Este diagrama se
justifica aplicando consecutivamente la propiedad distributiva.
El diagrama indica que para obtener el producto de polinomios se
suman los productos de cada término del primer factor con cada
término del segundo factor. Se muestran distintos diagramas
correspondientes a diversas situaciones. Finalmente, luego de
multiplicar polinomios se procede a simplificar, reduciendo términos semejantes.
En el video pasado se justificó cómo
determinar el producto de polinomios. En este video daremos
ejemplos de cómo multiplicar polinomios en una sola línea.
Ya se ha establecido que para multiplicar
polinomios cada término del primer polinomio se multiplica con cada
término del segundo polinomio. Luego, se procede a efectuar la
suma algebraica entre términos semejantes. Esta forma de proceder
sirve para expresiones más generales. En el video se muestran ejemplos de
multiplicación de expresiones algebraicas.
3.3.4 Valor numérico de un polinomio.
Recuerde que las variables representan
números, cuando se sustituye la variable por un número en un polinomio, se
dice que se está determinando el valor del polinomio en el número, se está
evaluando el polinomio en el número dado. En el video se dan
recomendaciones para evaluar. También se muestra mediante un ejemplo que
el valor numérico de un polinomio en un número es el mismo, independientemente
de la forma en que se presente el polinomio.
El valor numérico de una expresión algebraica
en un número dado es el valor que se obtiene al sustituir la variable por
el número. Un polinomio puede ser evaluado en cualquier número obteniendo
un valor real. Pero no siempre al evaluar una expresión
algebraica en un número dado se obtiene un número real; a
veces la expresión numérica no está definida, otras veces no es un número
real. En el video se dan los conceptos del valor numérico de una expresión
algebraica y el dominio de una expresión algebraica. Se muestra ejemplos
en que se pretende determinar el valor numérico de una expresión en
números reales, pasando luego a discutir si los números están o no en el
dominio de la expresión.
3.4 División de polinomios.
3.4.1 Explicación de la división de polinomios.
Se explica la división larga entre polinomios, comparándola con la división de los números enteros. Se muestra un ejemplo de cómo se efectúa la división, Luego, se expresa el dividendo en términos del cociente, residuo y divisor.
Se explica la división larga entre polinomios, comparándola con la división de los números enteros. Se muestra un ejemplo de cómo se efectúa la división, Luego, se expresa el dividendo en términos del cociente, residuo y divisor.
Se muestra un ejemplo de división entre
polinomios en que se pide expresar el resultado de la división en términos
fraccionarios.
Se resuelve la división planteada en el video
anterior.
Cuando el divisor es un monomio, la división
se puede realizar por un procedimiento corto. La idea de este
procedimiento se usa en Cálculo y otras áreas de las Matemáticas para
expresar el cociente de un polinomio entre un monomio como una suma de términos arxr+... a2x2+a1x+a0,
con r un
número racional.
3.4.5 División por Ruffini.
La división puede ser abreviada cuando los
divisores son de la forma x-c, el procedimiento descrito en
el enlace es conocido como la división sintética o regla de Ruffini.
Las divisiones dadas en los ejercicios propuestos abajo se pueden hacer
por el procedimiento largo, pero es recomendable hacerlas empleando
la regla de Ruffini.
Se muestra un ejemplo de la división de
polinomios usando la regla de Ruffini en que se trabajan con coeficiente
fraccionarios. Se insiste en hacer las cuentas de fracciones
aparte, buscando simplificar. Finalmente, se escribe el polinomio cociente
y el residuo.
Se muestra distintas divisiones en que no
se puede usar Ruffini de manera directa, pero con un cambio de
variable se puede aplicar la regla de Ruffini, encontrando el cociente y
el residuo (resto) de la división original. Se da una justificación del
procedimiento, dos ejemplos son desarrollados.
Ahora te invito resolver los ejercicios del 15 al 60 del libro Álgebra de Baldor.
4. Productos Notables
Dentro de todas las operaciones elementales
estudiadas con antelación, tales como la adición, la multiplicación, la potenciación,
entre otras, aplicables en todas las ramas de las matemáticas anteriormente
mencionadas, a través de propiedades de composición bien definidas, se derivan
procedimientos que permiten simplificar con mayor facilidad las operaciones
indicadas. Procedimientos como el producto notable y la factorización son
herramientas muy prácticas para la agilización en la búsqueda de un resultado
concreto.
En el video se deduce la fórmula del producto
de una suma por una diferencia. También se demuestra la fórmula para la
suma al cuadrado. Se señalan estrategias generales para efectuar un
producto por identificación por alguna de las identidades notables.
En el video se presentan los principales
productos notables, con algunas expresiones algebraicas y otras
geométricas que ayudan a recordarlos. Algunas demostraciones. Los
productos tratados son además de los vistos, el binomio al cubo, en
su versión suma y diferencia. El producto de dos binomios con un término
en común. Los ejemplos de productos presentados son resueltos paso a paso.
En el video se muestran ejemplos de
desarrollos de productos identificando con algún producto notable,
dando recomendaciones de trabajo. Se trata binomios al cubo, al cuadrado,
se hace especial énfasis en las diferencias. También muestra un
ejemplo del producto de binomios con un término en común.
Se dan más ejemplos de cómo efectuar
productos identificando con algún producto notable. Se dan recomendaciones
de trabajo y datos para resolver multiplicaciones entre expresiones
algebraicas usando algún producto notable. Algunos ejemplos
contienen raíces, en ellos es necesario las propiedades de radicales y
exponentes.
Ahora te invito a resolver los ejercicios del
62 al 73 del libro Álgebra de Baldor.
5. Factorización
La factorización,
es el procedimiento contrario al producto notable; consiste en transformar una
expresión algebraica en un producto o multiplicación. Cuando un número o
cualquier otra expresión no pueden descomponerse en factores, se dice que es un
número primo. En las operaciones aritméticas y algebraicas se utiliza mucho el
procedimiento de la factorización, como herramienta para simplificar y resolver
los ejercicios con menor dificultad y mayor rapidez.
En el video se
explica de qué trata el tema de factorización, se mencionan algunas
técnicas y la importancia de la factorización. El método de sacar factor
común es desarrollado, mostrando variados ejemplos.
Se muestran
expresiones que son interpretadas como una suma algebraica de
términos complicados y en que es posible aplicar la técnica de
factor común para lograr la factorización más rápidamente que si se emplea
otro procedimiento.
Se establecen los
principales productos notables cuyos desarrollos se suelen identificar con
la expresión a factorizar. Particularmente se trabaja con el trinomio que
puede ser identificado con el desarrollo del producto (x+a)(x+b) de binomios con un término en común.
Se dan ejemplos de
cómo efectuar la factorización cuando se tiene o se puede escribir una
expresión como una diferencia de cuadrados.
Se trata la factorización de
expresiones que son o pueden escribirse como una suma o una diferencia de
cubos.
Se muestra como un
polinomio se sigue factorizando hasta que no se pueda más.
En ocasiones una
expresión, que no es un polinomio, conviene expresarla de manera
factorizada. En el video veremos un ejemplo en que se pide expresarla como
un producto.
Igualmente te invito a resolver los ejercicios del 89 al 109 del libro Álgebra de A. Baldor.
(Videos y textos cortesía de matematicatuya.com)
Y recuerda, "PIENSA Y COMPÓRTATE" ...
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