Unidad 3

Ecuaciones


- Lectura de Apoyo Didáctico de la Unidad Curricular Nr 3, preparada por el Vicerrectorado Académico de la UNEFA:  Unidad 3: Ecuaciones.
Guía de Ejercicios de la Unidad 3: debes realizarla según instrucciones del docente y entregarla en la fecha indicada.

La resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones pertenece a la parte de las Matemáticas llamada Álgebra. Estas ecuaciones surgen del quehacer cotidiano de la actividad científica en uno de sus principales cometidos: la resolución de problemas. Los procedimientos de resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones ocuparon durante muchos años y en diferentes épocas de la historia de la Matemática a numerosos matemáticos. En esta unidad se describen las ecuaciones y los sistemas de ecuaciones así como sus métodos de resolución.

El video comienza explicando la importancia de las ecuaciones. Se dan conceptos claves para el tema. Ecuación algebraica, raíz o solución de una ecuación, resolver una ecuación, conjunto solución, ecuaciones equivalentes son, entre otras, las definiciones que se establecen en el video. Ilustra como verificar si un número es o no raíz de una ecuación. Muestra distintas situaciones de ecuaciones algebraicas con conjuntos soluciones de diferentes naturaleza, sin ahondar en detalles de resolución.

Se comenta una estrategia general para resolver ecuaciones algebraicas, señalando la importancia de verificar si en el proceso se producen o no ecuaciones equivalentes. Se establece la ley de oro de las ecuaciones o el principio básico para resolverlas. Se dan algunas operaciones que se pueden efectuar que producen ecuaciones equivalentes. ¿Por qué un término que está sumando pasa restando al otro miembro?, se contesta esta pregunta, también por qué un número que está multiplicando pasa dividiendo. Aún cuando lo que se le haga a un miembro de la ecuación se le debe hacer al otro miembro, intentando mantener la igualdad, la ecuación resultante puede tener más soluciones o menos soluciones que la original. Se hace una lista de operaciones que producen ecuaciones que pueden tener más soluciones que la original, decimos que surgen soluciones extrañas a la original. También se comenta que dividir entre un polinomio ambos lados de la ecuación puede quitar solución, se ilustra con ejemplos.
Se establece rápidamente la definición de una ecuación lineal, pasando a dar un bosquejo de la estrategia general para resolver este tipo de ecuación. Se muestra un primer ejemplo en que se resuelve una ecuación usando el principio básico de resolución de ecuaciones, lo que se le hace a un miembro se le hace al otro. En los siguientes ejemplos se aplica la regla práctica de que si un término está sumando pasa restando, (transposición aditiva) y si un número, distinto de cero, está multiplicando todo un miembro se transpone al otro lado, dividiendo. Se resuelve una ecuación con paréntesis. Luego, se resuelve una ecuación con denominadores numéricos. Con este último ejemplo, se establecen los pasos recomendados para resolver ecuaciones lineales con fracciones. 
Se dan los conceptos intuitivos de una ecuación con literales y una ecuación con varias variables. Se muestran ejemplos de cómo resolver una ecuación lineal con literales y cómo despejar una variable cuando la ecuación es lineal en la variable a despejar. 

Se presenta una ecuación en que los coeficientes contienen números irracionales, específicamente raíz de 2. Se resuelve siguiendo las recomendaciones de ecuaciones literales, tratando a raíz de dos como un parámetro o constante. 

3.3.3 Problemas de ecuaciones lineales: cómo plantear la ecuación.

En el video se propone una metodología para resolver problemas en que planteando y resolviendo una ecuación lleva a la solución del problema. Se resuelve un problema sencillo aplicando la metodología propuesta, que genera una ecuación lineal.
Un video para principiantes en el arte de plantear una ecuación que resuelve un problema. Se dan recomendaciones y sugerencias que ayudan a plantear la ecuación  de algunos problemas. Se resuelven tres problemas sencillos.

En este video se resolverán ecuaciones de la forma un producto igual a cero o que fácilmente se pueden llevar a esta forma. La técnica para resolver este tipo de ecuaciones se basa en que si un producto es cero es porque al menos un factor es cero. Se establecen los pasos de la técnica de factorización, se muestran ejemplos y se dan recomendaciones de trabajo.

Se presenta una ecuación de grado tres. Se hace la observación que como es de grado tres tiene a lo sumo tres raíces reales. Se resuelve la ecuación por la técnica de factorización, factorizando por el método de Ruffini.
En el video se establece la definición de una ecuación cuadrática y de la forma general o canónica de la ecuación. Se muestran ejemplos de ecuaciones cuadráticas, determinando sus coeficientes. Se introduce la fórmula cuadrática, estableciendo cuando la ecuación tiene dos soluciones, una o ninguna solución real, en base al discriminante. Se muestran ejemplos de cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando esta fórmula, dando consejos de trabajo. 

Se muestra como  reconocer y resolver ecuaciones de tipo cuadrático. Se  resuelven por el método de cambio de variable y  directamente, por factorización. Se dan recomendaciones cuando usar  un método o el otro.
Se muestran distintos procedimientos para resolver ecuaciones de segundo grado.  La técnica usada para resolver depende de cómo se presenta la ecuación. Se considera la ecuación con forma un cuadrado igual a constante, un producto de factores lineales igual a cero y la forma general que usa la fórmula cuadrática o resolvente. Si una ecuación cuadrática no está en alguna de estas formas entonces se intenta llevar a alguna de ellas. Para llevarlo a la forma un producto igual a cero, muchas veces se necesitará factorizar, de allí el nombre: método de factorización. En el video se discute sobre la existencia de raíces reales. Se ilustra con variados ejemplos. 

En el video se define una ecuación con radical, se muestran ejemplos de ecuaciones con radicales y ecuaciones que no se consideran con radical. Se explora métodos de resolución que conducen a establecer la estrategia recomendada. Se resuelven dos ecuaciones que ilustran los pasos señalados.  

Se resuelve una ecuación con un solo término con radical en la variable.
Se establece las definiciones de ecuaciones fraccionarias. Se trata la ecuación fracción igual a cero usando la propiedad del cero: un cociente es cero si el numerador es cero y el denominador distinto de cero. Se resuelven varias ecuaciones de este tipo, enfatizando que las raíces de la ecuación numerador igual a cero es solución siempre y cuando tenga sentido en la original.
Se recuerda las definiciones de ecuaciones fraccionarias y racionales. Se muestra la técnica del mínimo común múltiplo de los denominadores, empleada cuando se tienen denominadores polinómicos. Se enfatiza que como se multiplico por un polinomio se pudo agregar soluciones extrañas a la original, entonces se deben eliminar aquellas soluciones que anulen algún denominador de la ecuación original. Se desarrollan dos ejemplos. 


Te invito a resolver los ejercicios del 78 al 81; del 141 al 158 y 176 al 192 del libro Álgebra de A. Baldor.


(Videos y textos cortesía de matematicatuya.com)


Y recuerda, "PIENSA Y COMPÓRTATE" ...
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